Question

17．已知過(guò)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的兩條互相垂直的直線的交點(diǎn)在橢圓內(nèi)部（不包括邊界）則此橢圓的離心率的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 由題意可知：O為圓心以F₁F₂為直徑的圓與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)，即|OP|=c＜b，則c²＜b²=a²-c²，即a²＞2c²，求得a＞$\sqrt{2}$c，e=$\frac{c}{a}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由0＜e＜1．即可求得橢圓的離心率的取值范圍．

解答 解：由題意可知橢圓內(nèi)存在點(diǎn)P使得直線PF₁與直線PF₂垂直，
∴O為圓心以F₁F₂為直徑的圓與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)，
∴|OP|=c＜b，
∴c²＜b²=a²-c²，即a²＞2c²，
∴a＞$\sqrt{2}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0＜e＜1．
∴0＜e＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查橢圓離心率的求法，考查學(xué)生分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．