Question

如圖，在單位圓和x軸上各有動點(diǎn)A、B，它們的初始位置都在單位圓和x軸的交點(diǎn)P₀處，A處沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ=

π

4

得到A₁，B點(diǎn)沿x軸正方向移動θ=

π

4

個(gè)單位得到B₁，分別過A₁、B₁作x軸的平行線和垂線相交于P₁（x₁，y₁），A₁點(diǎn)再沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ=

π

4

得到A₂，B₁點(diǎn)沿x軸正方向移動θ=

π

4

個(gè)單位得到B₂，分別過A₂、B₂作x軸的平行線和垂線相較于P₂（x₂，y₂），…，如此下去得到P_n（x_n，y_n）（n為正整數(shù)）

（1）求點(diǎn)P₁的坐標(biāo)；
（2）計(jì)算：y₁+y₂+…+y₂₀₁₁的值；
（3）由點(diǎn)P₀，P₁，…P_n連成的折線與x軸、P_nB_n所圍成的區(qū)域面積記為S_n，求S₈．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)定義求P₁的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)定義尋找y_n的規(guī)律，得到縱坐標(biāo)取值的周期性，并根據(jù)規(guī)律進(jìn)行求和．
（3）確定折現(xiàn)對應(yīng)的圖形，利用三角形或梯形的面積公式求面積．

解答：解：（1）根據(jù)定義
可知點(diǎn)P₁的橫坐標(biāo)x=1+

π

4

，
縱坐標(biāo)為y=1×sin

π

4

=

2

2

，
即P₁的坐標(biāo)：(1+

π

4

，

2

2

)．
（2）由定義可知，A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ=

π

4

后，
得到每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為

2

2

，1，

2

2

，0，-

2

2

，-1，-

2

2

，0，

2

2

，1，

2

2

，0，…，體現(xiàn)了周期性，周期數(shù)為8．
且在一個(gè)周期內(nèi)的和為

2

2

+1+

2

2

+0-

2

2

-1-

2

2

+0=0，
所以y₁+y₂+…+y₂₀₁₁=y1+y2+y3=

2

2

+1+

2

2

=1+

2

．
（3）由題意知當(dāng)n=8時(shí)，點(diǎn)A沿著單位圓運(yùn)動一周，此時(shí)對應(yīng)的折現(xiàn)面積上下兩部分相同．
所以S8=2(S△P0B1P1+S梯形P1B1B2P2+S梯形P2B2B3P3+S△P3B3P4)
=4(S△P0B1P1+S梯形P1B1B2P2)=4[

1

2

×

π

4

×

2

2

+

( 2 2 +1)× π 4

2

]
=

2 π

4

+

2 π

4

+

π

2

=

2 π

2

+

π

2

=

2 +1

2

π．

點(diǎn)評：本題主要考查了新定義，考查學(xué)生閱讀和分析問題的能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．