Question

如圖A是單位圓與x軸的交點，點P在單位圓上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），

OQ

=

OA

+

OP

，四邊形OAQP的面積為S，當(dāng)

OA

•

OP

+S取得最大值時θ的值和最大值分別為（　�。�

• A．

  π

  6

  ，

  3

• B．

  π

  3

  ，1
• C．

  π

  4

  ，

  2

• D．

  π

  2

  ，

  2

Answer 1

分析：根據(jù)向量的加法法則得到四邊形OAQP為平行四邊形，因此算出其面積S=

|OA|

•

|OP|

sin∠POA=sinθ．由向量數(shù)量積的公式，算出

OA

•

OP

=cosθ，從而得到

OA

•

OP

+S=cosθ+sinθ=

2

sin（θ+

π

4

），再利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可算出答案．

解答：解：∵

OQ

=

OA

+

OP

，
∴四邊形OAQP為平行四邊形，其面積S=

|OA|

•

|OP|

sin∠POA，
∵P、A在單位圓上，可得

|OA|

=

|OP|

=1，∠AOP=θ，
∴S=

|OA|

•

|OP|

sin∠POA=sinθ．
又∵

OA

•

OP

=

|OA|

•

|OP|

cos∠POA=cosθ，
∴

OA

•

OP

+S=cosθ+sinθ=

2

sin（θ+

π

4

）
∵0＜θ＜π，可得θ+

π

4

∈（

π

4

，

5π

4

）．
∴當(dāng)且僅當(dāng)θ+

π

4

=

π

2

時，即θ=

π

4

時，

OA

•

OP

+S=

2

sin（θ+

π

4

）有最大值

2

．
故選：C

點評：本題給出單位圓中的向量與平行四邊形，求

OA

•

OP

+S的最大值和相應(yīng)的角θ的值．著重考查了向量的加法法則、平行四邊形的面積計算、三角恒等變換與三角函數(shù)的最值求法等知識，屬于中檔題．