Question

16．已知函數(shù)f（x）=|2x-m|（m∈R），g（x）=x-1．
（1）當m=3時，求不等式f（x）≤g（x）的解集；
（2）若對于任意實數(shù)x，f（x）-g（x）＞2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得|2x-3|≤x-1，即有$\left\{\begin{array}{l}{2x-3≥0}\\{2x-3≤x-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2x-3＜0}\\{3-2x≤x-1}\end{array}\right.$，解不等式即可得到所求解集；
（2）化簡不等式得|2x-m|-x-1≥0，構(gòu)造函數(shù)h（x）=|2x-m|-x-1，利用分段函數(shù)求出h（x）的最小值，根據(jù)原不等式對x∈R恒成立等價于h（x）_min≥0，即可求出a的范圍．

解答 解：（1）當m=3時，不等式f（x）≤g（x）即為
|2x-3|≤x-1，
即有$\left\{\begin{array}{l}{2x-3≥0}\\{2x-3≤x-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2x-3＜0}\\{3-2x≤x-1}\end{array}\right.$，
解得$\frac{3}{2}$≤x≤2或$\frac{4}{3}$≤x＜$\frac{3}{2}$，
即有不等式的解集為[$\frac{4}{3}$，2]；
（2）對于任意實數(shù)x，f（x）-g（x）＞2恒成立，
即為|2x-m|＞x+1恒成立，
可化為|2x-m|-x-1≥0，
令h（x）=|2x-m|-x-1，
則h（x）≥0恒成立，
∵h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-m-1，x＞\frac{m}{2}}\\{m-1-3x，x≤\frac{m}{2}}\end{array}\right.$，
∴h（x）在（-∞，$\frac{m}{2}$）上遞減，在（$\frac{m}{2}$，+∞）上遞增，
∴h（x）≥h（$\frac{m}{2}$）=-1-$\frac{m}{2}$≥0，
∴m≤-2．
則實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-2]．

點評 本題考查不等式的解法，含有絕對值的函數(shù)化為分段函數(shù)解決的技巧，恒成立問題的轉(zhuǎn)化等知識的應用，屬于中檔題．