已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)的離心率為
2
2
,其左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P(x0,y0)是圓x2+y2=
7
4
上一點(diǎn),且
PF1
PF2
=
3
4

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)不垂直x軸的直N線l:y=kx+m與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),直線F2M與F2N傾斜角分別為α,β,且α+β=π.證明直線l過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
考點(diǎn):橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題:計(jì)算題,證明題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),由P在圓上,代入圓的方程,運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,解方程得到c=1,再由離心率公式解得a,再由a,b,c的關(guān)系得到b,進(jìn)而得到橢圓方程;(2)設(shè)直線MN方程為y=kx+m,與橢圓方程聯(lián)立消去y,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),根據(jù)韋達(dá)定理可表示出x1+x2和x1x2,表示出直線F2M和F2N的斜率,由α+β=π可推斷兩直線斜率之和為0,把x1+x2和x1x2代入即可求得k和m的關(guān)系,代入直線方程進(jìn)而可求得直線過(guò)定點(diǎn).
解答: (1)解:橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)
點(diǎn)P(x0,y0)是圓x2+y2=
7
4
上一點(diǎn),則x02+y02=
7
4

PF1
PF2
=
3
4
,則(-c-x0)•(c-x0)+(-y0)•(-y0)=
3
4

即為x02+y02-c2=
3
4
,則c2=1,解得c=1,
由橢圓C的離心率e=
2
2
,得
c
a
=
2
2
,其中c=
a2-b2
,
可得a2=2,b2=1,
則橢圓方程為
x2
2
+y2=1;
(2)證明:由
y=kx+m
x2+2y2=2
,消去y,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
則△=(4km)2-4(2k2+1)(2m2-2)≥0,即2k2-m2+1≥0
則x1+x2=-
4km
2k2+1
,x1x2=
2m2-2
2k2+1

kF2M=
kx1+m
x1-1
kF2N=
kx2+m
x2-1
,
由已知α+β=π,得kF2M+kF2N=0即
kx1+m
x1-1
+
kx2+m
x2-1
=0
化簡(jiǎn),得2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0
∴2k•
2m2-2
2k2+1
+(m-k)•(-
4km
2k2+1
)-2m=0,
整理得m=-2k.
∴直線MN的方程為y=k(x-2),
因此直線MN過(guò)定點(diǎn),該定點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了橢圓的方程和性質(zhì),考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,考查直線和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理,考查了學(xué)生對(duì)問(wèn)題的綜合分析和基本的運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)F1,F(xiàn)2為雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),且直線y=2x為雙曲線C的一條漸近線,點(diǎn)P為C上一點(diǎn),如果|PF1|-|PF2|=4,那么雙曲線C的方程為
 
;離心率為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

方程f(x)=x的根稱為f(x)的不動(dòng)點(diǎn),若函數(shù)f(x)=
x
a(x+2)
有唯一不動(dòng)點(diǎn),且x1=1000,xn+1=
1
f(
1
xn
)
(n∈N*),則x2013=(  )
A、2006B、2008
C、2012D、2013

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若程序框圖如圖所示,視x為自變量,y為函數(shù)值,可得函數(shù)y=f(x)的解析式,那么函數(shù)f(x)-4在x∈R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( 。
A、2B、3C、4D、5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列命題中真命題的個(gè)數(shù)有( 。
(1)集合{小于1的正有理數(shù)}是一個(gè)有限集;
(2)集合{y|y=x2-1}與集合{(x,y)|y=x2-1}是同一個(gè)集合;
(3)1,
3
2
6
4
,|-
1
2
|,0.5,這些數(shù)組成的集合有5個(gè)元素;
(4)集合{(x,y)|xy≤0,x,y∈R}是指第二和第四象限內(nèi)的點(diǎn)集.
A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、3個(gè)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

有一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示,則該幾何體的表面積和體積分別為( 。 
A、42π,28π
B、28π,42π
C、24π,28π
D、82π,24π

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=l,且對(duì)一切x∈R都有f′(x)<4,則不等式f(x)>4x-3的解集為( 。
A、(-∞,0)
B、(0,+∞)
C、(-∞,1)
D、(1,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

直線
x=t+1
y=2t+3
(t為參數(shù))與圓
x=
5
cosθ+2
y=
5
sinθ
(θ為參數(shù))的位置關(guān)系為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足
2x+y≥0
x-y≥0
0≤x≤k
,若z=x+2y的最大值為18,則z的最小值為
 

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