Question

15．在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=50，S₉=S₁₇，求前n項(xiàng)的和S_n的最大值．

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)S₁₇=S₉，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)，用含a₁的式子表示出d，把a(bǔ)₁的值代入即可求出d的值，然后由a₁和d的值寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而表示出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為關(guān)于n的二次函數(shù)，配方后即可求出S_n的最大值．

解答 解：由S₁₇=S₉，
得到$\frac{17（{a}_{1}+{a}_{17}）}{2}$=$\frac{9（{a}_{1}+{a}_{9}）}{2}$，
即17（2a₁+16d）=9（2a₁+8d），又a₁=50，
解得：d=-$\frac{2{a}_{1}}{25}$=-4，
所以a_n=a₁+（n-1）d=-4n+54，
則S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（-4n+54）}{2}$=-2n²+27n=-2（n-$\frac{27}{4}$）²+$\frac{729}{8}$，
因?yàn)閚是正整數(shù)，
所以當(dāng)n=7時(shí)，S_nmax=91．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)求值，掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，是一道中檔題．