12.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)過點(diǎn)(1,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)P與點(diǎn)Q均在橢圓C上,且P,Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,問:橢圓上是否存在點(diǎn)M(點(diǎn)M在第一象限),使得△PQM為等邊三角形?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

分析 (1)列方程組解出a,b;
(2)設(shè)PQ方程為y=kx,則OM方程為y=-$\frac{1}{k}$x,聯(lián)立方程組解出P,Q,M的坐標(biāo),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)列方程組求出k即可得出M的坐標(biāo).

解答 解:(1)∵橢圓過點(diǎn)(1,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),且e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$.
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$.
(2)假設(shè)橢圓上是否存在點(diǎn)M(點(diǎn)M在第一象限),使得△PQM為等邊三角形,
設(shè)直線PQ的方程為y=kx,則直線OM的方程為y=-$\frac{1}{k}$x.
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$得P($\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$,$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$),Q(-$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$,-$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$),
同理可得M($\frac{2|k|}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$,$\frac{2}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$).
∴|OP|=$\sqrt{\frac{4+4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}}$,|OM|=$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+4}{4+{k}^{2}}}$.
∵△PQM為等邊三角形,∴|OM|=$\sqrt{3}$|OP|,
∴$\frac{4{k}^{2}+4}{4+{k}^{2}}$=$\frac{12+12{k}^{2}}{1+{4k}^{2}}$,解得k=$±\sqrt{11}$.
M($\frac{2\sqrt{11}}{\sqrt{15}}$,$\frac{2}{\sqrt{15}}$),即M($\frac{2\sqrt{165}}{15}$,$\frac{2\sqrt{15}}{15}$).

點(diǎn)評(píng) 本題考了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

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2.在直角坐標(biāo)xOy中,${C_1}:\left\{{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=t+5}\end{array}}\right.(t$為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線${C_2}:{ρ^2}+2{ρ^2}{sin^2}θ-3=0$.
(1)求C1的普通方程與C2的參數(shù)方程;
(2)根據(jù)(1)中你得到的方程,求曲線C2上任意一點(diǎn)P到C1的最短距離,并確定取得最短距離時(shí)P點(diǎn)的直角坐標(biāo).

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3.已知集合A={1,2,3},B={2,3},則( 。
A.A=BB.B∈AC.A?BD.B?A

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20.若3f(x-1)+2f(1-x)=2x,求f(x).

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7.函數(shù)f(x)=$\frac{x}{{{x^2}+a}}$的圖象可能是( 。
A.(1)(3)B.(1)(2)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)

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17.已知向量$\overrightarrow{m}$=($\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$,1),$\overrightarrow{n}$=(cos$\frac{x}{4}$,cos2$\frac{x}{4}$),若$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1,求cos(x+$\frac{π}{3}$)的值.

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4.設(shè)命題p:函數(shù)y=sin(2x+$\frac{π}{3}$)的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長度得到的曲線關(guān)于y軸對(duì)稱;命題q:函數(shù)y=|2x-1|在[-1,+∞)上是增函數(shù).則下列判斷錯(cuò)誤的是( 。
A.p為假B.¬q為真C.p∨q為真D.p∧q為假

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1.若f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1處取得極大值10,則$\frac{a}$的值為( 。
A.$-\frac{3}{2}$或$-\frac{1}{2}$B.$-\frac{3}{2}$或$\frac{1}{2}$C.$-\frac{3}{2}$D.$-\frac{1}{2}$

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2.已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0},其中a∈R.
(1)1是A中的一個(gè)元素,用列舉法表示A;
(2)若A中有且僅有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)a的組成的集合B;
(3)若A中至多有一個(gè)元素,試求a的取值范圍.

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