Question

6．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+b_n=1，b_n+1=$\frac{_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$（n∈N^*），則數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 根據(jù)a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+b_n=1，先求得b₁的值，再根據(jù)b_n+1=b_n+1=$\frac{_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$，得到b_n+1與b_n的遞推關系，根據(jù)b_n+1與b_n的遞推關系，構造數(shù)列{$\frac{1}{_{n}-1}$}，利用等差數(shù)列的定義，數(shù)列{$\frac{1}{_{n}-1}$}是以-2為首項，-1為公差的等差數(shù)列，即可求出表達式

解答 解：∵a₁=$\frac{1}{2}$，a₁+b₁=1，a_n+b_n=1
∴b₁=$\frac{1}{2}$，a_n=1-b_n，
∴b_n+1=$\frac{_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{_{n}}{1-（1-_{n}）^{2}}$=$\frac{1}{2-_{n}}$
∴$\frac{1}{_{n+1}-1}$-$\frac{1}{_{n}-1}$=-1
∵$\frac{1}{_{1}-1}$=-2，
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}-1}$}是以-2為首項，-1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{_{n}-1}$=-2-（n-1）=-n-1，
∴b_n=$\frac{n}{n+1}$，
故答案為：$\frac{n}{n+1}$

點評 本題考查了等差數(shù)列的應用，以及構造新數(shù)列求通項公式．屬中檔題．