【題目】已知函數(shù)，.

（1）求證：在區(qū)間上有且僅有一個零點，且；

（2）若當(dāng)時，不等式恒成立，求證：.

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）利用求導(dǎo)數(shù)，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，然后再證異號，即可證明結(jié)論；

（2）當(dāng)時，不等式恒成立，分離參數(shù)只需時，恒成立，

設(shè)（），需，根據(jù)（1）中的結(jié)論先求出，再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)法，證明即可.

（1），

令，則，

所以在區(qū)間上是增函數(shù)，

則，所以在區(qū)間上是增函數(shù).

又因為，

，

所以在區(qū)間上有且僅有一個零點，且.

（2）由題意，在區(qū)間上恒成立，

即在區(qū)間上恒成立，

當(dāng)時，；

當(dāng)時，恒成立，

設(shè)（），

所以.

由（1）可知，，使，

所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，

由此在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以.

又因為，

所以，從而，

所以.令，，

則，

所以在區(qū)間上是增函數(shù)，

所以，故.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，是的中點.

（1）證明：；

（2）若，求二面角平面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若在區(qū)間上有最小值，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，其中a為常數(shù)．

Ⅰ當(dāng)，求a的值；

Ⅱ當(dāng)時，關(guān)于x的不等式恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義在上的二次函數(shù)，且在上的最小值是8.

（1）求實數(shù)的值；

（2）設(shè)函數(shù)，若方程在上的兩個不等實根為，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（Ⅱ）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，求的取值范圍

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解戶籍性別對生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機(jī)抽取了容量為的調(diào)查樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)民戶籍各人；男性人，女性人.繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖（如圖所示），其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對應(yīng)比例，則下列敘述中錯誤的是（ ）

A.是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關(guān)

B.是否傾向選擇生育二胎與性別無關(guān)

C.傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同

D.傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，是棱上的一點，滿足平面.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）設(shè)，，若為棱上一點，使得直線與平面所成角的大小為30°，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了檢驗學(xué)習(xí)情況，某培訓(xùn)機(jī)構(gòu)于近期舉辦一場競賽活動，分別從甲、乙兩班各抽取10名學(xué)員的成績進(jìn)行統(tǒng)計分析，其成績的莖葉圖如圖所示（單位：分），假設(shè)成績不低于90分者命名為“優(yōu)秀學(xué)員”.

（1）分別求甲、乙兩班學(xué)員成績的平均分（結(jié)果保留一位小數(shù)）；

（2）從甲班4名優(yōu)秀學(xué)員中抽取兩人，從乙班2名80分以下的學(xué)員中抽取一人，求三人平均分不低于90分的概率.

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