Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明；

（2）若恒成立，求的最小值；

（3）記，求集合中正整數(shù)的個(gè)數(shù)；

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增，證明見解析（2）4（3）見解析

【解析】

（1）去掉絕對(duì)值符號(hào)后由二次函數(shù)性質(zhì)可得，并按定義證明；

（2）直接代入解析式．不等式為二次不等式，由一元二次不等式恒成立可得；

（3）求出和，利用二項(xiàng)式定理確定除以3所得余數(shù)，從而可確定怎樣計(jì)算上正整數(shù)個(gè)數(shù)．

（1）在單調(diào)遞增

證明：任取

∵，∴，

又，則

則，則單調(diào)遞增.

（2）由恒成立可得

恒成立，且

∴恒成立，

∴，解得：

所以，的最小值為4.

（3），

則時(shí)，區(qū)間為，正整數(shù)個(gè)數(shù)為0，

時(shí)，∵

為偶數(shù)時(shí)，；

為奇數(shù)時(shí)，；

而同奇偶，同奇偶

①為偶數(shù)時(shí)，正整數(shù)個(gè)數(shù)為：

②為奇數(shù)時(shí)（）

正整數(shù)個(gè)數(shù)為：.