Question

6．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，是否存在直線l，使其截雙曲線所得弦的中點為P（1，1）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 通過直線l過P（1，1）可設其方程為x=my+1-m，并與雙曲線方程聯立，利用韋達定理及中點坐標公式可知y₁+y₂=2，進而計算可得結論．

解答 解：存在直線l：x=$\frac{4}{9}$y+$\frac{5}{9}$滿足題意．
理由如下：
依題意，直線l過P（1，1），則
可設直線l方程為：x=my+1-m，
聯立直線l與雙曲線方程，消去x整理得：
（9m²-4）y²+18m（1-m）y+9（1-m）²-36=0，
設直線l與雙曲線的交點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
又∵弦AB的中點為P（1，1），
∴y₁+y₂=$\frac{18m（m-1）}{9{m}^{2}-4}$=2，
解得：m=$\frac{4}{9}$，
即存在直線l：x=$\frac{4}{9}$y+$\frac{5}{9}$，使其截雙曲線所得弦的中點為P（1，1）．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．