Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為：ρsin（θ+$\frac{π}{4}}$）=1．直線l與曲線C相交于點(diǎn)A，B．
（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與y軸交于點(diǎn)P，求|PB|•|PA|．

Answer 1

分析 （1）直線l的極坐標(biāo)方程為：ρsin（θ+$\frac{π}{4}}$）=1，展開(kāi)為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ）=1，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（2）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去參數(shù)化為普通方程．把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入橢圓方程可得：2t²+6t+3=0，利用|PB|•|PA|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為：ρsin（θ+$\frac{π}{4}}$）=1，展開(kāi)為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ）=1，可得直角坐標(biāo)方程：x+y-$\sqrt{2}$=0．
（2）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），消去參數(shù)化為：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）代入橢圓方程可得：2t²+6t+3=0，
∴t₁t₂=$\frac{3}{2}$．
∴|PB|•|PA|=|t₁t₂|=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．