Question

5．已知函數(shù)f（x）=alnx-x²（a∈R）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）對(duì)于（0，1）內(nèi)的任意兩個(gè)相異實(shí)數(shù)p、q，恒有$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$＞1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）對(duì)a進(jìn)行討論，判斷f′（x）的符號(hào)，得出f（x）的單調(diào)性；
（II）設(shè)p＞q，則條件等價(jià)于g（x）=f（x+1）-x在（0，1）上為增函數(shù)，即g′（x）≥0在（0，1）上恒成立，分離參數(shù)求出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）． $f'（x）=\frac{{-2{x^2}+a}}{x}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）≤0，則f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0解得x=$\sqrt{\frac{a}{2}}$或x=-$\sqrt{\frac{a}{2}}$（舍），
∴當(dāng)0＜x＜$\sqrt{\frac{a}{2}}$時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞$\sqrt{\frac{a}{2}}$時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）在$（0，\sqrt{\frac{a}{2}}）$上單調(diào)遞增，在$（\sqrt{\frac{a}{2}}，+∞）$單調(diào)遞減．
（2）不妨設(shè)p＞q，則$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$＞1?f（p+1）-p＞f（q+1）-q，
令g（x）=f（x+1）-x=aln（x+1）-（x+1）²-x=aln（x+1）-x²-3x-1，
則g（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
則g′（x）=$\frac{a}{x+1}$-2x-3≥0在（0，1）上恒成立．
∴a≥2x²+5x+3在（0，1）上恒成立．
設(shè)h（x）=2x²+5x+3，則h（x）在（0，1）上增函數(shù)，
∴h（x）＜h（1）=10，
∴a≥10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值與函數(shù)恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．