Question

13．給出下列四個命題：
①函數(shù)f（x）=log_a（2x-1）-1的圖象過定點(diǎn)（1，0）；
②已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f（x）=x（x+1），則f（x）的解析式為f（x）=x²-|x|；
③若log_a$\frac{1}{2}$＜1，則a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）；
④若2^-x-2^y＞lnx-ln（-y）（x＞0，y＜0），則x+y＜0．
其中所有正確命題的序號是②④．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）=log_a（2x-1）-1的圖象所過定點(diǎn)判斷①；
求出x＞0時的解析式，然后得到函數(shù)f（x）的解析式判斷②；
直接求解對數(shù)不等式得到a的范圍判斷③；
由2^-x-2^y＞lnx-ln（-y）（x＞0，y＜0），得2^-x-lnx＞2^y-ln（-y），然后結(jié)合函數(shù)f（x）=2^-x-lnx為定義域內(nèi)的減函數(shù)可得x+y＜0．

解答 解：對于①，由2x-1=1，得x=1，∴函數(shù)f（x）=log_a（2x-1）-1的圖象過定點(diǎn)（1，-1），故①錯誤；
對于②，函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f（x）=x（x+1），設(shè)x＞0，則-x＜0，∴f（x）=f（-x）=-x（-x+1）=x（x-1），則f（x）的解析式為f（x）=x²-|x|，故②正確；
對于③，由log_a$\frac{1}{2}$＜1，得log_a$\frac{1}{2}$＜log_aa，當(dāng)a＞1時，不等式成立，當(dāng)0＜a＜1時，解得0$＜a＜\frac{1}{2}$．
則a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞），故③錯誤；
對于④，由2^-x-2^y＞lnx-ln（-y）（x＞0，y＜0），得2^-x-lnx＞2^y-ln（-y），
∵函數(shù)f（x）=2^-x-lnx為定義域內(nèi)的減函數(shù)，∴x＜-y，即x+y＜0，故④正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評 本題考查命題的直接判斷與應(yīng)用，考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，是中檔題．