Question

（2013•惠州模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=x³-4x+a（0＜a＜2）有三個(gè)零點(diǎn)x₁、x₂、x₃，且x₁＜x₂＜x₃，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

A．x₁＞-1

B．x₂＜0

C．0＜x₂＜1

D．x₃＞2

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，再根據(jù)f （x）的三個(gè)零點(diǎn)為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，求得各個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間，從而得出結(jié)論．

解答：解：∵函數(shù)f （x）=x³-4x+a，0＜a＜2，
∴f′（x）=3x²-4．令f′（x）=0，得 x=±

2 3

3

．
∵當(dāng)x＜-

2 3

3

時(shí)，f′（x）＞0；
在（-

2 3

3

，

2 3

3

）上，f′（x）＜0；
在（

2 3

3

，+∞）上，f′（x）＞0．
故函數(shù)在（-∞，-

2 3

3

）上是增函數(shù)，在（-

2 3

3

，

2 3

3

）上是減函數(shù)，在（

2 3

3

，+∞）上是增函數(shù)．
故f（-

2 3

3

）是極大值，f（

2 3

3

）是極小值．
再由f （x）的三個(gè)零點(diǎn)為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，
得 x₁＜-

2 3

3

，-

2 3

3

＜x₂

2 3

3

，x₃＞

2 3

3

．
根據(jù)f（0）=a＞0，且f（

2 3

3

）=a-

16 3

9

＜0，得

2 3

3

＞x₂＞0．
∴0＜x₂＜1．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的定義，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，屬于中檔題．