設(shè)函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上滿足以x=2，x=7為對稱軸，且在[0，7]上只有f（1）=f（3）=0，試求方程f（x）=0在[-2012，2012]根的個數(shù)為


  1. A.
    803個
  2. B.
    804個
  3. C.
    805個
  4. D.
    806個
C
分析：由函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上滿足以x=2，x=7為對稱軸，可以分析函數(shù)是以10為周期的周期函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)在[0，7]上只有f（1）=f（3）=0，分析出一個周期中函數(shù)有兩個零點(diǎn)，進(jìn)而分析出函數(shù)在[-2012，2012]上零點(diǎn)的個數(shù)，最后根據(jù)在[-2012，2012]根的個數(shù)為函數(shù)f（x）零點(diǎn)個數(shù)得到答案．
解答：f（x）的對稱軸為x=2和x=7，
那么有：f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x）
推得f（4-x）=f（14-x）=f（x）
即f（x）=f（x+10），T=10
由f（4-x）=f（14-x）=f（x）
且閉區(qū)間[0，7]上只有f（1）=f（3）=0
得f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0
即在[-10，0]和[0，10]函數(shù)各有兩個解
則方程f（x）=0在閉區(qū)間[0，2012]上的根為2×201+1=403個，
方程f（x）=0在閉區(qū)間[-2012，0]上的根為2×201=402個
得方程f（x）=0在閉區(qū)間[-2012，2012]上的根的個數(shù)為805個
故選C
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中根據(jù)已知分析出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

12、設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，若滿足
f（a）•f（b）≤0
，則方程f（x）=0在區(qū)間[a，b]上一定有實(shí)數(shù)根．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）在R上有定義，下列函數(shù)：①y=-|f（x）|；②y=|x|•f（x2）；③y=-f（-x）；④y=f（x）+f（-x）
其中偶函數(shù)的有
②④
②④
．（寫出所有正確的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f1（x）=3|x-1|，f2（x）=a•3|x-2|，（x∈R，a＞0）．函數(shù)f（x）定義為：對每個給定的實(shí)數(shù)x，f(x)=
f1(x)    f1(x)≤f2(x) 
f2(x)    f1(x)＞f2(x) 

（1）若f（x）=f1（x）對所有實(shí)數(shù)x都成立，求a的取值范圍；
（2）設(shè)t∈R，t＞0，且f（0）=f（t）．設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]上的單調(diào)遞增區(qū)間的長度之和為d（閉區(qū)間[m，n]的長度定義為n-m），求
d
t
；
（3）設(shè)g（x）=x2-2bx+3．當(dāng)a=2時，若對任意m∈R，存在n∈[1，2]，使得f（m）≥g（n），求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•保定一模）設(shè)函數(shù)f（x）在R上是可導(dǎo)的偶函數(shù)，且滿足f （x-1）=-f （x+1），則曲線y=f （x）在點(diǎn)x=10處的切線的斜率為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex+ax2+bx．
（Ⅰ）當(dāng)a=0，b=-1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（t，f（t））（0＜t＜1）處的切線為l，直線l與y軸相交于點(diǎn)Q．若點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)恒小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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