已知函數(shù)f(x)=ex+ax2+bx.
(Ⅰ)當(dāng)a=0,b=-1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)P(t,f(t))(0<t<1)處的切線為l,直線l與y軸相交于點(diǎn)Q.若點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)恒小于1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(I)當(dāng)a=0,b=-1時(shí),f(x)=ex-x,f′(x)=ex-1,分別解出f′(x)>0,f′(x)<0,即可得出其單調(diào)區(qū)間.
(II)利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′(x)=ex+2ax+b,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得:函數(shù)f(x)在點(diǎn)P(t,f(t))(0<t<1)處的切線l的斜率k=f′(t)=et+2at+b,
即可得到切線l的方程為y-(et+at2+bt)=(et+2at+b)(x-t).令x=0,得y=(1-t)et-at2(0<t<1).當(dāng)0<t<1時(shí),要使得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)恒小于1,只需(1-t)et-at2<1,即(t-1)et+at2+1>0(0<t<1).
令g(t)=(t-1)et+at2+1,利用導(dǎo)數(shù)通過(guò)分類討論即可得到其單調(diào)性.
解答:解:(Ⅰ)當(dāng)a=0,b=-1時(shí),f(x)=ex-x,f′(x)=ex-1,
∴當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)>0;
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).
(Ⅱ)∵f′(x)=ex+2ax+b,
∴函數(shù)f(x)在點(diǎn)P(t,f(t))(0<t<1)處的切線l的斜率k=f′(t)=et+2at+b,
∴切線l的方程為y-(et+at2+bt)=(et+2at+b)(x-t),
令x=0,得y=(1-t)et-at2(0<t<1).
當(dāng)0<t<1時(shí),要使得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)恒小于1,
只需(1-t)et-at2<1,即(t-1)et+at2+1>0(0<t<1).
令g(t)=(t-1)et+at2+1,
則g′(t)=t(et+2a),
∵0<t<1,∴1<et<e,
①若2a≥-1即a≥-
1
2
時(shí),et+2a>0,
∴當(dāng)t∈(0,1)時(shí),g′(t)>0,即g(t)在(0,1)上單調(diào)遞增,
∴g(t)>g(0)=0恒成立,∴a≥-
1
2
滿足題意.
②若2a≤-e,即a≤-
e
2
時(shí),et+2a<0.
∴當(dāng)t∈(0,1)時(shí),g′(t)<0,即g(t)在(0,1)上單調(diào)遞減.
∴g(t)<g(0),∴a≤-
e
2
時(shí)不滿足條件.
③若-e<2a<-1,即-
e
2
<a<-
1
2
時(shí),0<ln(-2a)<1.列表如下:
t (0,ln(-2a)) ln(-2a) (ln(-2a),1)
 g′(t) - 0 +
g(t) 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增
∴g(ln(-2a))<g(0)=0,∴-
e
2
<a<-
1
2
不滿足題意.
綜上①②③可得:當(dāng)a≥-
1
2
時(shí),g(t)>0,0<t<1.此時(shí)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)恒小于1.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=e-x(cosx+sinx),將滿足f′(x)=0的所有正數(shù)x從小到大排成數(shù)列{xn}.求證:數(shù)列{f(xn)}為等比數(shù)列.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•西城區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=e|x|+|x|.若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•菏澤一模)已知函數(shù)f(x)=e|lnx|-|x-
1
x
|,則函數(shù)y=f(x+1)的大致圖象為(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=e-xsinx(其中e=2.718…).
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求f(x)在[-π,+∞)上的最大值與最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=e-x(x2+x+1).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在[-1,1]上的最值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案