Question

19．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）sinx+f（x）cosx＞0且f（$\frac{π}{2}$）=1，則f（x）sinx≤1的整數(shù)解的集合為{-1，0，1}．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）sinx，確定當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，g（x）是偶函數(shù)，即可求出f（x）sinx≤1的整數(shù)解的集合．

解答 解：設(shè)g（x）=f（x）sinx，則g′（x）=f′（x）sinx+f（x）cosx，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）sinx+f（x）cosx＞0
∴當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴g（x）是偶函數(shù)，
∵f（$\frac{π}{2}$）=1，∴g（$\frac{π}{2}$）=1，
∵f（x）sinx≤1，
∴|x|≤$\frac{π}{2}$，
∴f（x）sinx≤1的整數(shù)解的集合為{-1，0，1}．
故答案為：{-1，0，1}．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查學(xué)生解不等式的能力，正確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性是關(guān)鍵．