Question

9．設函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，關于x的方程[f（x）]²+mf（x）-1=0有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，e-$\frac{1}{e}$）
• B． （e-$\frac{1}{e}$，+∞）
• C． （0，e）
• D． （1，e）

Answer 1

分析 求出f（x）的單調(diào)性和極值，判斷方程f（x）=k的根的情況，令g（x）=x²+mx-1，根據(jù)f（x）=k的根的情況得出g（x）的零點分布情況，利用零點的存在性定理列出不等式求出m的范圍．

解答 解：f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴當x＞e時，f′（x）＜0，當0＜x＜e時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減．
∴f_max（x）=f（e）=$\frac{1}{e}$．
作出f（x）的大致函數(shù)圖象如下：

由圖象可知當0＜k$＜\frac{1}{e}$時，f（x）=k有兩解，
當k≤0或k=$\frac{1}{e}$時，f（x）=k有一解，當k$＞\frac{1}{e}$時，f（x）=k無解．
令g（x）=x²+mx-1，則g（f（x））有三個零點，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上有一個零點，在（-∞，0]∪{$\frac{1}{e}$}上有一個零點．
∵g（x）的圖象開口向上，且g（0）=-1，∴g（x）在（-∞，0）上必有一個零點，
∴g（$\frac{1}{e}$）＞0，即$\frac{1}{{e}^{2}}+\frac{m}{e}-1＞0$，
解得m＞e-$\frac{1}{e}$．
故選B．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，零點的存在性定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．