Question

2．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{{{2^x}-1}}+a$為奇函數(shù)，則實數(shù)a=$\frac{1}{2}$，函數(shù)f（x）在[1，3]上的值域為[$\frac{9}{14}$，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，利用條件f（-x）=-f（x），建立方程關(guān)系進行求解即可，利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．

解答 解：∵f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$+a=-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$-a，
即$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$+a=-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$-a，
則2a=+a=-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$-$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=$\frac{1}{1-{2}^{x}}$-$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=1，
則a=$\frac{1}{2}$，
則f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$在[1，3]為減函數(shù)，
則f（3）≤f（x）≤f（1），
即$\frac{9}{14}$≤f（x）≤$\frac{3}{2}$，
即函數(shù)的值域為[$\frac{9}{14}$，$\frac{3}{2}$]，
故答案為：$\frac{1}{2}$，[$\frac{9}{14}$，$\frac{3}{2}$]

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)值域的求解，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．