Question

19．已知函數(shù)f（x）=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}）$•x，則方程f（x-1）=f（x²-3x+2）的所有實(shí)根構(gòu)成的集合的非空子集個數(shù)為7．

Answer 1

分析 由題意可判斷函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，且可判斷在[0，+∞）上是增函數(shù)；從而可得x-1=x²-2x+1或x-1=-（x²-2x+1），從而解得，即可求出子集的個數(shù)．

解答 解：∵f（x）=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}）$•x
∴f（-x）=（-x）（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$）
=x（$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$-$\frac{1}{2}$）=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}）$•x=f（x），
∴函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，
∵f′（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$+$\frac{x•{2}^{x}•ln2}{（{2}^{x}+1）}$，
∴當(dāng)x≥0時，f′（x）≥0；
故函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)；
∵f（x-1）=f（x²-2x+1），
∴x-1=x²-2x+1或x-1=-（x²-2x+1），
∴x=1或x=2或x=0，
∴所有實(shí)根構(gòu)成的集合的非空子集個數(shù)為2³-1=7
故答案為：7

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，關(guān)鍵是判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．