Question

已知過點(diǎn)A（0，1）且方向向量為

a

=(1，k)的直線l與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

OM

•

ON

=12，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由已知可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，聯(lián)立直線方程和圓的方程，根據(jù)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程有兩個(gè)不等的交點(diǎn)，即△＞0，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）設(shè)出M，N的坐標(biāo)，由（1）中方程及韋達(dá)定理，結(jié)合

OM

•

ON

=x₁•x₂+y₁•y₂，可構(gòu)造關(guān)于k的方程，解方程可得答案．

解答：解：（1）直線l過點(diǎn)A（0，1）且方向向量為

a

=(1，k)
∴直線l的方程為y=kx+1
將其代入圓C：（x-2）²+（y-3）²=1得：
（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0…①
若直線l與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N兩點(diǎn)
則△=16（1+k）²-28（1+k²）＞0
解得

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則由①得

x1+x2= 4+4k 1+k2 x1•x2= 7 1+k2

OM

•

ON

=x₁•x₂+y₁•y₂=（1+k²）x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=

4k(1+k)

1+k2

+8=12
∴k=1

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，直線與圓的位置關(guān)系，（1）的關(guān)鍵是由直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷聯(lián)立所得方程有兩個(gè)不等根，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)向量數(shù)量積構(gòu)造關(guān)于k的方程．