Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜3；
（Ⅱ）設(shè)0＜a＜2，求f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分類討論去掉絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為解一元二次不等式組得解集．
（Ⅱ）化簡函數(shù)f（x）的解析式，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及在單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性，
利用函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵x|x-2|＜3?

x≥2 x2-2x-3＜0

或

x＜2 x2-2x+3＞0

?2≤x＜3或x＜2，
∴不等式f（x）＜3的解集為{x|x＜3}  （5分）

（Ⅱ）解：f(x)=x|x-2|=

x2-2x=(x-1)2-1，x≥2 -x2+2x=-(x-1)2+1，x＜2.

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1]和[2，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間是[1，2]，（8分）
（1）當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）是[0，a]上的增函數(shù)，此時(shí)，f（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（2-a）；
..（11分）
（2）當(dāng)1＜a＜2時(shí)，f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，在[1，a]上是減函數(shù)，
此時(shí)f（x）在[0，a]上的最大值是f（1）=1   （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，以及利用函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性求函數(shù)在此區(qū)間上的最值，體現(xiàn)分類討論的數(shù)學(xué)思想．