【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,左頂點(diǎn)為,左焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上,直線與橢圓交于, 兩點(diǎn),直線, 分別與軸交于點(diǎn)

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?若經(jīng)過(guò),求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過(guò),請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】;()經(jīng)過(guò)兩定點(diǎn), .

【解析】試題分析:()橢圓的左焦點(diǎn)為,所以.由點(diǎn)在橢圓上,得,進(jìn)而解出得到橢圓的方程;()直線與橢圓聯(lián)立,解得的坐標(biāo)(用表示),設(shè)出, 的方程,解出的坐標(biāo),圓方程用表示,最后可求得為直徑的圓經(jīng)過(guò)兩定點(diǎn).

試題解析:() 設(shè)橢圓的方程為

因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為,所以

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以

①②解得, ,

所以橢圓的方程為

)因?yàn)闄E圓的左頂點(diǎn)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為

因?yàn)橹本與橢圓交于兩點(diǎn), ,

設(shè)點(diǎn)(不妨設(shè)),則點(diǎn)

聯(lián)立方程組消去

所以,則

所以直線的方程為

因?yàn)橹本, 分別與軸交于點(diǎn), ,

,即點(diǎn)

同理可得點(diǎn)

所以

設(shè)的中點(diǎn)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為

則以為直徑的圓的方程為

,得,即

故以為直徑的圓經(jīng)過(guò)兩定點(diǎn),

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