Question

已知奇函數(shù)f（x）和偶函數(shù)g（x）分別滿足f（x）=

2x-1(0≤x＜1) 1 x (x≥1)

，g（x）=-x²+4x-4（x≥0），若存在實(shí)數(shù)a，使得f（a）＜g（b）成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（　�。�

• A、（-1，1）
• B、（-

  1

  3

  ，

  1

  3

  ）
• C、（-3，-1）∪（1，3）
• D、（-∞，-3）∪（3，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x）、g（x）的奇偶性，畫出它們的圖象，求出x＜0時(shí)，f（x）的最小值，以及g（x）=-x²+4|x|-4，由存在實(shí)數(shù)a，使得f（a）＜g（b）成立，只需g（b）＞f（-1），即可得到b的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）為奇函數(shù)，且f（x）=

2x-1(0≤x＜1) 1 x (x≥1)

，
∴f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如右圖，當(dāng)x＞0時(shí)，f（1）取最大值，且為1；當(dāng)x＜0時(shí)，f（-1）最小，且為-1．
∵g（x）為偶函數(shù)，且g（x）=-x²+4x-4（x≥0），
∴g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖，且
g（x）=-x²+4|x|-4，
∵存在實(shí)數(shù)a，使得f（a）＜g（b）成立，
∴g（b）＞-1，即-b²+4|b|-4＞-1，
∴b²-4|b|+3＜0，即1＜|b|＜3，
∴1＜b＜3或-3＜b＜-1．
∴b的取值范圍是（1，3）∪（-3，-1）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和應(yīng)用，以及函數(shù)的最值，同時(shí)考查存在性問題的解決方法，存在x，a＞f（x）成立，只需a＞f（x）的最小值，本題屬于中檔題．