18.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2,M是PD的中點.
(1)求證:平面ABM⊥平面PCD;
(2)求直線CD與平面ACM所成角的正弦值.

分析 (1)根據(jù)面面垂直判定定理,需先證得線面垂直,故證明PD⊥平面ABM.
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,運用向量法求解線面所成角.

解答 證明:(1)∵PA⊥平面ABCD.∴PA⊥AB
  又 底面ABCD是矩形,
∴AB⊥AD 且PA∩AD=A.
∴AB⊥平面PAD
∴AB⊥PD
∵PA=AD,M是PD的中點,
∴AM⊥PD
  又AM∩AB=A
∴PD⊥平面ABM
又PD?平面PCD
∴平面ABM⊥平面PCD.
解:(2)由題AB⊥AP,AB⊥AD,AD⊥AP.
分別以AB,AD,AP方向為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
∴C(2,4,0),D(0,4,0),P(0,0,4),
  M 為PD 中點,∴M(0,2,2)
∴$\overrightarrow{CD}=(-2,0,0)$,$\overrightarrow{AC}=(2,4,0)$,$\overrightarrow{AM}=(0,2,2)$
設(shè)平面ACM的法向量為$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$    即$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=0}\\{y+z=0}\end{array}\right.$
取x=2,得法向量$\overrightarrow{n}=(2,-1,-1)$
記直線CD與平面ACM所成角為θ,
則$sinθ=|cos<\overrightarrow{CD},\overrightarrow{n}>|$=$\frac{|\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CD}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
故直線CD與平面ACM所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$.

點評 考查線面垂直、面面垂直的判定定理,向量法求解線面角.已知條件給定了兩兩相互垂直的三條棱且棱長確定,思路不難找,運算量不大,屬于基礎(chǔ)題.但是向量法求得的向量角的余弦值對應(yīng)著線面角的正弦值,這點易錯.故屬于易錯題.

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