5.已知數(shù)列{an}中,a1=4,an+1=2(an+2n),若不等式2n2-n-3<λan對?n∈N*恒成立,則實數(shù)λ的取值范圍是$(\frac{3}{8},+∞)$.

分析 an+1=2(an+2n),變形為$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1,利用等差數(shù)列的通項公式可得:an=(n+3)•2n.不等式2n2-n-3<λan對?n∈N*恒成立,化為λ>$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$=bn,再利用數(shù)列{bn}的單調(diào)性即可得出.

解答 解:∵an+1=2(an+2n),∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1,
∴數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差數(shù)列,公差為1,首項為2.
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2+(n-1)=n+1.
∴an=(n+3)•2n
不等式2n2-n-3<λan對?n∈N*恒成立,
∴λ>$\frac{2{n}^{2}-n-3}{(n+3)•{2}^{n}}$=$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$=bn,
b1<0,n≥2時,bn>0,
bn+1-bn=$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$=$\frac{5-2n}{{2}^{n+1}}$,
可得n=2時,b2<b3,
n≥3時,數(shù)列{bn}單調(diào)遞減.
因此n=3時,bn取得最大值,b3=$\frac{3}{8}$.
∴$λ>\frac{3}{8}$.
故答案為:$(\frac{3}{8},+∞)$.

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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