【題目】如圖,橢圓E: 的左焦點為F1 , 右焦點為F2 , 離心率e= .過F1的直線交橢圓于A、B兩點,且△ABF2的周長為8.
(Ⅰ)求橢圓E的方程.
(Ⅱ)設(shè)動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P,且與直線x=4相交于點Q.試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點M,使得以PQ為直徑的圓恒過點M?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

【答案】解:(Ⅰ)∵過F1的直線交橢圓于A、B兩點,且△ABF2的周長為8.
∴4a=8,∴a=2
∵e= ,∴c=1
∴b2=a2﹣c2=3
∴橢圓E的方程為
(Ⅱ)由 ,消元可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0
∵動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P(x0 , y0
∴m≠0,△=0,∴(8km)2﹣4×(4k2+3)×(4m2﹣12)=0
∴4k2﹣m2+3=0①
此時x0= = ,y0= ,即P( ,
得Q(4,4k+m)
取k=0,m= ,此時P(0, ),Q(4, ),以PQ為直徑的圓為(x﹣2)2+(y﹣ 2=4,交x軸于點M1(1,0)或M2(3,0)
取k=- ,m=2,此時P(1, ),Q(4,0),以PQ為直徑的圓為(x﹣ 2+(y﹣ 2= ,交x軸于點M3(1,0)或M4(4,0)
故若滿足條件的點M存在,只能是M(1,0),證明如下


故以PQ為直徑的圓恒過x軸上的定點M(1,0)
方法二:
假設(shè)平面內(nèi)存在定點M滿足條件,因為對于任意以PQ為直徑的圓恒過定點M,所以當(dāng)PQ平行于x軸時,圓也過定點M,即此時P點坐標(biāo)為(0, )或(0,﹣ ),由圖形對稱性知兩個圓在x軸上過相同的交點,即點M必在x軸上.設(shè)M(x1 , 0),則 =0對滿足①式的m,k恒成立.
因為 =( ﹣x1 ),
=(4﹣x1 , 4k+m),由 =0得﹣ + ﹣4x1+x12+ +3=0,
整理得(4x1﹣4) +x12﹣4x1+3=0.②
由于②式對滿足①式的m,k恒成立,所以 ,解得x1=1.
故存在定點M(1,0),使得以PQ為直徑的圓恒過點M.
【解析】(Ⅰ)根據(jù)過F1的直線交橢圓于A、B兩點,且△ABF2的周長為8,可得4a=8,即a=2,利用e= ,b2=a2﹣c2=3,即可求得橢圓E的方程.(Ⅱ)由 ,消元可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0,利用動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P(x0 , y0),可得m≠0,△=0,進而可得P( , ),由 得Q(4,4k+m),取k=0,m= ;k=- ,m=2,猜想滿足條件的點M存在,只能是M(1,0),再進行證明即可.
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識點,需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸:,焦點在y軸:才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】石嘴山三中最強大腦社對高中學(xué)生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析,得下表數(shù)據(jù)

x

6

8

10

12

y

2

3

5

6

(1)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程 ,預(yù)測記憶力為9的同學(xué)的判斷力.

(2)若記憶力增加5個單位,預(yù)測判斷力增加多少個單位?

參考公式:

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC= AA1 , D是棱AA1的中點,DC1⊥BD

(1)證明:DC1⊥BC;
(2)求二面角A1﹣BD﹣C1的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義,若對任意x1 , x2∈[a,b],有 則稱f(x)在[a,b]上具有性質(zhì)P.設(shè)f(x)在[1,3]上具有性質(zhì)P,現(xiàn)給出如下命題:
①f(x)在[1,3]上的圖象是連續(xù)不斷的;
②f(x2)在[1, ]上具有性質(zhì)P;
③若f(x)在x=2處取得最大值1,則f(x)=1,x∈[1,3];
④對任意x1 , x2 , x3 , x4∈[1,3],有 [f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]
其中真命題的序號是(
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在直角坐標(biāo)中,設(shè)橢圓的左右兩個焦點分別為,,過右焦點且與軸垂直的直線與橢圓相交,其中一個交點為.

(1)求橢圓的方程;

(2)已知,經(jīng)過點且斜率為,直線與橢圓有兩個不同的交點,請問是否存在常數(shù),使得向量共線?如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知集合A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1)(x﹣3)>0},則A∩B=(
A.(﹣∞,﹣1)
B.(﹣1,
C.﹙ ,3﹚
D.(3,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3),g(x)=2x﹣2,若同時滿足條件:
x∈R,f(x)<0或g(x)<0;
x∈(﹣∞,﹣4),f(x)g(x)<0.
則m的取值范圍是

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2.8,方差是3.6,若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上10,得到一組新數(shù)據(jù),則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是(

A.12.8 3.6 B.2.8 13.6 C.12.8 13.6 D.13.6 12.8

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓

(1)若橢圓的離心率為,的值;

(2)若過點任作一條直線與橢圓交于不同的兩點,軸上是否存在點,使得 若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案