【題目】已知橢圓.
(1)若橢圓的離心率為,求的值;
(2)若過點任作一條直線與橢圓交于不同的兩點,在軸上是否存在點,使得 若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)=;(2)存在點 ,使得 .
【解析】
(1)由a2=2,b2=n,所以c2=2-n,又,得n
(2)若存在點M(m,0),使得∠NMA+∠NMB=180°,
則直線AM和BM的斜率存在,分別設(shè)為k1,k2.等價于k1+k2=0.
依題意,直線l的斜率存在,故設(shè)直線l的方程為y=k(x+2).與橢圓方程聯(lián)立,利用△>0.求出.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),利用韋達定理,通過令,求出m.
解:(1) 因為 ,,所以 .
又 ,所以有 ,得 .
(2)若存在點 ,使得 ,
則直線 和 的斜率存在,
分別設(shè)為 ,,且滿足 .
依題意,直線 的斜率存在,故設(shè)直線 的方程為 .
由 得 .
因為直線 與橢圓 有兩個交點,所以 .
即 ,解得 .
設(shè) ,,則 ,,
,.
令 ,即 ,
即 ,
當(dāng) 時,,
所以 ,化簡得,,所以 .
當(dāng) 時,檢驗也成立.
所以存在點 ,使得 .
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓E: 的左焦點為F1 , 右焦點為F2 , 離心率e= .過F1的直線交橢圓于A、B兩點,且△ABF2的周長為8.
(Ⅰ)求橢圓E的方程.
(Ⅱ)設(shè)動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P,且與直線x=4相交于點Q.試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點M,使得以PQ為直徑的圓恒過點M?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AB=1,AD=2,E為BC的中點,點M,N分別為棱DD1 , A1D1的中點.
(1)求證:平面CMN∥平面A1DE;
(2)求證:平面A1DE⊥平面A1AE.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x+alnx在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直,函數(shù)g(x)=f(x)+ x2﹣bx.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實數(shù)b的取值范圍;
(3)設(shè)x1 , x2(x1<x2)是函數(shù)g(x)的兩個極值點,若b≥ ,求g(x1)﹣g(x2)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知全集U=R,集合A={x|4x﹣92x+8<0},B={x| },C={x||x﹣2|<4},求A∪B,CUA∩C.
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【題目】已知函數(shù), (為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時, 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知兩動圓F1:(x+ )2+y2=r2和F2:(x﹣ )2+y2=(4﹣r)2(0<r<4),把它們的公共點的軌跡記為曲線C,若曲線C與y軸的正半軸的交點為M,且曲線C上的相異兩點A,B滿足: =0.
(1)求曲線C的方程;
(2)證明直線AB恒經(jīng)過一定點,并求此定點的坐標(biāo);
(3)求△ABM面積S的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 滿足(1﹣q)Sn+qan=1,且q(q﹣1)≠0.
(1)求{an}的通項公式;
(2)若S3 , S9 , S6成等差數(shù)列,求證:a2 , a8 , a5成等差數(shù)列.
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