Question

11．在平面直角坐標系中，已知點P（3，0）在圓C：（x-m）²+（y-2）²=40內，動直線AB過點P且交圓C于A、B兩點，若△ABC的面積的最大值為20，則實數(shù)m的取值范圍是-3＜m≤-1或7≤m＜9．

Answer 1

分析 根據(jù)圓的標準方程得到圓心坐標和半徑，利用三角形面積的最大值，確定直線的位置，利用直線和方程的位置關系即可得到結論．

解答 解：圓C：（x-m）²+（y-2）²=40，圓心C（m，2），半徑r=2$\sqrt{10}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$r²sin∠ACB=20sin∠ACB，
∴當∠ACB=90時S取最大值20，
此時△ABC為等腰直角三角形，AB=$\sqrt{2}$r=4$\sqrt{5}$，
則C到AB距離=2$\sqrt{5}$，
∴2$\sqrt{5}$≤PC＜2$\sqrt{10}$，即2$\sqrt{5}$≤$\sqrt{（m-3）^{2}+{2}^{2}}$＜2$\sqrt{10}$，
∴20≤（m-3）²+4＜40，即16≤（m-3）²＜36，
∵圓C：（x-m）²+（y-2）²=40內，
∴|OP|=$\sqrt{（3-m）^{2}+{2}^{2}}$$＜2\sqrt{10}$，即（m-3）²＜36，
∴16≤（m-3）²＜36，
∴-3＜m≤-1或7≤m＜9，
故答案為：-3＜m≤-1或7≤m＜9．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，利用圓的標準方程求出圓心坐標和半徑是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．