Question

2．已知函數f（x）是二次函數，函數g（x）=x²-2，f（x）+g（x）是奇函數，且方程f（x）=3x+2有兩個相等的實數根．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）求x取何值時，函數f（x）的圖象在函數g（x）的圖象的上方；
（3）是否存在實數m，n（m＜n），使得函數f（x）的定義域和值域的分別為[m，n]和[2m，2n]、如果存在，求出m，n的值，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據題意，設f（x）=ax²+bx+c，可得f（x）+g（x）的解析式，又由f（x）+g（x）是奇函數，分析可得a、c的值，結合方程f（x）=3x+2有兩個相等的實數根，分析可得b的值，即可得函數f（x）的解析式；
（2）分析可得，函數f（x）的圖象在函數g（x）的圖象的上方，即f（x）-g（x）＞0恒成立，即-x²+3x+2＞x²-2的解集為R，由二次函數的性質分析可得答案；
（3）由（1）可得f（x）的表達式，分析可得其對稱軸為x=$\frac{3}{2}$，分①$n≤\frac{3}{2}$、②$m≥\frac{3}{2}$、③$m＜\frac{3}{2}＜n$討論其在[m，n]上的值域，綜合可得答案．

解答 解：（1）函數f（x）是二次函數，設f（x）=ax²+bx+c，
則f（x）+g（x）=（a+1）x²+bx+c-2
又f（x）+g（x）是奇函數，
必有a+1=0且c-2=0，
故a=-1，c=2…（2分）
故f（x）=-x²+bx+2，則-x²+bx+2=3x+2，
即方程-x²+（b-3）x=0有兩個相等的實根，故b=3
所以f（x）=-x²+3x+2…（4分）
（2）根據題意，函數f（x）的圖象在函數g（x）的圖象的上方，即f（x）＞g（x）恒成立，
即-x²+3x+2＞x²-2的解集為R，
由f（x）的圖象和g（x）的圖象可得，
當$\frac{{3-\sqrt{41}}}{4}＜x＜\frac{{3+\sqrt{41}}}{4}$時，函數f（x）的圖象在函數g（x）的圖象的上方…（8分）
（3）$f（x）=-{x^2}+3x+2=-{（x-\frac{3}{2}）^2}+\frac{17}{4}$
當$n≤\frac{3}{2}$時，得$\left\{{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}}\right.$，又因為m＜n，
可得$\left\{{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=2}\end{array}}\right.$，與$n≤\frac{3}{2}$矛盾，故舍去…（10分）
當$m≥\frac{3}{2}$時，得$\left\{{\begin{array}{l}{f（m）=-{m^2}+3m+2=2n，（1）}\\{f（n）=-{n^2}+3n+2=2m，（2）}\end{array}}\right.$，
作差得m=5-n，代入（1）式得m²-5m+8=0，
上述方程無解，即不存在符合題意的m，n…（12分）
當$m＜\frac{3}{2}＜n$時，則$f（\frac{3}{2}）=2n$，即$n=\frac{17}{8}$若f（n）=2m，即$2m=f（\frac{17}{8}）=\frac{247}{64}$，得$m=\frac{247}{128}＞\frac{3}{2}$，故不符合題意…（14分）
若f（m）=2m，得m=-1或2，舍去正值，
此時m=-1，f（-1）=-2，而$f（n）=f（\frac{17}{8}）=\frac{247}{64}＞f（-1）=-2$故m=-1，$n=\frac{17}{8}$符合題意…（16分）

點評 本題考查函數性質的綜合運用，涉及函數的定義域、值域以及解析式的求法、函數的奇偶性、函數恒成立問題等多個知識點，解題時注意結合函數的圖象性質進行分析．