Question

19．直線$ax+\frac{1}{a}y+2=0$與圓x²+y²=r²相切，則圓的半徑最大時，a的值是±1．

Answer 1

分析 由題意可得圓心到直線的距離等于半徑，即$\frac{|0+0+2|}{\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}}$=r，由基本不等式可得r取得最大值時a的值．

解答 解：由題意可得，圓心（0，0）到直線ax+$\frac{1}{a}$y+2=0的距離等于半徑r，
即$\frac{|0+0+2|}{\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}}$=r，由基本不等式可得r≤$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，當且僅當a²=1，即a=±1時，取等號，
故答案為：±1．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，基本不等式的應用，屬于基礎題．