Question

9．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為${F_1}（-2\sqrt{3}，0），{F_2}（2\sqrt{3}，0）$，且離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）求以點(diǎn)P（2，-1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的焦點(diǎn)和離心率列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)以點(diǎn)P（2，-1）為中點(diǎn)的弦與橢圓交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，y₁+y₂=-2，由此利用點(diǎn)差法能求出以點(diǎn)P（2，-1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程．

解答 解：（1）∵橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為${F_1}（-2\sqrt{3}，0），{F_2}（2\sqrt{3}，0）$，且離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=2\sqrt{3}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=4，c=2$\sqrt{3}$，b=2，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）設(shè)以點(diǎn)P（2，-1）為中點(diǎn)的弦與橢圓交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4，y₁+y₂=-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+4{{y}_{1}}^{2}=16}\\{{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}=16}\end{array}\right.$，兩式相減，并整理，得4（x₁-x₂）-8（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴以點(diǎn)P（2，-1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為：
y+1=$\frac{1}{2}$（x-2），即x-2y-4=0．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查中點(diǎn)弦所成直線方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)及點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．