Question

5．設函數(shù)f（x）=ax²-2lnx；
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，得到切線的斜率，切點坐標，然后求出切線方程．
（2）求出函數(shù)的定義域以及函數(shù)的導數(shù)，通過a的討論，判斷導函數(shù)的符號，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解  （1）若a=2，函數(shù)f（x）=2x²-2lnx，f（1）=2…（1分）
∴f′（x）=4x-$\frac{2}{x}$…（3分）
∴f′（1）=2            …（4分）
∴函數(shù)f（x）在點（1，2）處的切線方程是：y-2=2（x-1）…（5分）
即2x-y=0…（6分）
（2）f（x）=ax²-2ln x，其定義域為（0，+∞），
所以f′（x）=2ax-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（{ax}^{2}-1）}{x}$（x＞0）…7分
①當a＞0時，由ax²-1＞0，得x＞$\frac{1}{\sqrt{a}}$．

由ax²-1＜0，得0＜x＜$\frac{1}{\sqrt{a}}$…（9分）
故當a＞0時，f（x）在區(qū)間$（\frac{1}{\sqrt{a}}，+∞）$上單調(diào)遞增，
在區(qū)間$（0，\frac{1}{\sqrt{a}}）$上單調(diào)遞減…（10分）
②當a≤0時，f′（x）＜0 （x＞0）恒成立．
故當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，切線方程的求法，函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查分類討論以及轉(zhuǎn)化是想的應用．