Question

16．已知點（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，橢圓離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓C右焦點F的直線l與橢圓交于兩點A、B，在x軸上是否存在點M，使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$為定值？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由點（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在橢圓上，橢圓離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，列出方程組求出a，b，能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）假設(shè)存在點M（x₀，0），使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$為定值，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線l的方程為x=my+1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，得（m²+2）y²+2my-1=0，由此利用韋達定理、向量的數(shù)量積、橢圓性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出存在點M（$\frac{5}{4}$，0），使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$為定值-$\frac{7}{16}$恒成立．

解答 解：（Ⅰ）∵點（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，橢圓離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}，b=1$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）假設(shè)存在點M（x₀，0），使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$為定值，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線l的方程為x=my+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，得（m²+2）y²+2my-1=0，
${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{1}{{m}^{2}+2}$，
$\overrightarrow{MA}$=（x₁-x₀，y₁）=（my₁+1-x₁，y₁），$\overrightarrow{MB}$=（x₂-x₀，y₂）=（my₂+1-x₀，y₂），
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（my₁+1-x₀）（my₂+1-x₀）+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂+m（1-x₀）（y₁+y₂）+（1-x₀）²
=$\frac{-（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}$+$\frac{-2{m}^{2}（1-{x}_{0}）}{{m}^{2}+2}$+（1-x₀）²
=$\frac{{m}^{2}（{{x}_{0}}^{2}-2）+2（1-{x}_{0}）^{2}-1}{{m}^{2}+2}$，
要使上式為定值，即與m無關(guān)，應(yīng)有$\frac{{{x}_{0}}^{2}-2}{1}$=$\frac{2（1-{x}_{0}）^{2}-1}{2}$，
解得${x}_{0}=\frac{5}{4}$．
∴存在點M（$\frac{5}{4}$，0），使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$為定值-$\frac{7}{16}$恒成立．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的定點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、向量的數(shù)量積、橢圓性質(zhì)的合理運用．