Question

如圖所示，已知△AOB中，∠AOB=

π

2

，AB=2OB=4，D為AB的中點，若△AOC是△AOB繞直線AO旋轉(zhuǎn)而成的，記二面角B-AO-C的大小為θ．
（I）若θ=

π

2

，求證：平面COD⊥平面AOB；
（II）若θ∈[

π

2

，

2π

3

]時，求二面角C-OD-B的余弦值的最小值．

Answer 1

分析：（I）欲證平面COD⊥平面AOB，先證直線與平面垂直，由題意可得：CO⊥AO，BO⊥AO，CO⊥BO，所以CO⊥平面AOB，進一步易得平面COD⊥平面AOB
（Ⅱ）過C作OB的垂線，垂足為F，過F作OD的垂線，垂足為G，連接CG，則∠CGF的補角為二面角C-OD-B的平面角，根據(jù)θ∈[

π

2

，

2π

3

]，我們易求出cos∠CGF的取值范圍．

解答：解：（I）因為AO⊥OB，二面角B-AO-C為

π

2

，…（3分）
所以O(shè)B⊥OC，又OC⊥OA，且OA∩OB=O，OB在平面AOB內(nèi)，OC在平面AOB內(nèi)．
所以O(shè)C⊥平面AOB
又OC在平面COD．
所以平面AOB⊥平面COD．…（6分）
（II）當(dāng)θ=

π

2

時，二面角C-OD-B的余弦值為0；…（7分）
當(dāng)θ∈（

π

2

，

2π

3

]時，過B作OD的垂線，垂足為E，
過C作OB的垂線，垂足為F，過F作OD的垂線，垂足為G，連接CG，
則∠CGF的補角為二面角C-OD-B的平面角．
在Rt△OCF中，CF=2sinθ，OF=-2cosθ，
在Rt△CGF中，GF=OFsin

π

3

=-

3

cosθ，CG=

4sin2θ+3cos2θ

，
所以cos∠CGF=

FG

CG

=-

3 cosθ

4sin2θ+3cos2θ

．因為θ∈（

π

2

，

2π

3

]，tanθ≤-

3

，
故0＜cos∠CGF=

3

4tan2θ+3

≤

5

5

．
所以二面角C-OD-B的余弦值的范圍是[-

5

5

，0]
所以二面角C-OD-B的余弦值的最小值為-

5

5

．…（12分）

點評：本題考查的知識點是與二面角有關(guān)的立體幾何問題，平面與平面垂直的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是確定出二面角B-AO-C的平面角為∠COB，∠CGF的補角為二面角C-OD-B的平面角．