Question

7．如圖，OM，ON是兩條海岸線，Q為海中一個小島，A為海岸線OM上的一個碼頭．已知tan∠MON=-3，OA=6km，Q到海岸線OM，ON的距離分別為3km，$\frac{{6\sqrt{10}}}{5}$km．現(xiàn)要在海岸線ON上再建一個碼頭，使得在水上旅游直線AB經(jīng)過小島Q．
（1）求水上旅游線AB的長；
（2）若小島正北方向距離小島6km處的海中有一個圓形強水波P，從水波生成th時的半徑為r=3$\sqrt{at}$（a為大于零的常數(shù)）．強水波開始生成時，一游輪以18$\sqrt{2}$km/h的速度自碼頭A開往碼頭B，問實數(shù)a在什么范圍取值時，強水波不會波及游輪的航行．

Answer 1

分析 （1）由點到直線的距離，結合直線AQ的方程，即可求出AB的長；
（2）強水波不會波及游輪的航行即$P{C^2}＞{r^2}對t∈[{0，\frac{1}{2}}]恒成立$，代入進行分類討論，即可得出結論．

解答 解：（1）以點O 為坐標原點，直線OM 為x 軸，建立直角坐標系如圖所示．
則由題設得：A（6，0），直線ON 的方程為y=-3x，Q（x₀，3）（x₀＞0）．
由$\frac{{|{3{x_0}+3}|}}{{\sqrt{10}}}=\frac{{6\sqrt{10}}}{5}$，及x₀＞0 得x₀=3，∴Q（3，3）．
∴直線AQ 的方程為y=-（x-6），即x+y-6=0，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=-3x}\\{x+y-6=0}\end{array}}\right.$ 得$\left\{{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=9}\end{array}}\right.$ 即B（-3，9），
∴$AB=\sqrt{{{（{-3-6}）}^2}+{9^2}}=9\sqrt{2}$，
即水上旅游線AB 的長為$9\sqrt{2}km$．
（2）設試驗產(chǎn)生的強水波圓P，
由題意可得P（3，9），生成t 小時時，游輪在線段AB 上的點C 處，則
AC=18$\sqrt{2}$t，0$≤t≤\frac{1}{2}$，∴C（6-18t，18t）．
強水波不會波及游輪的航行即$P{C^2}＞{r^2}對t∈[{0，\frac{1}{2}}]恒成立$．
PC²=（18t-3）²+（18t-9）²＞r²=9at，
當t=0 時，上式恒成立，
當$t≠0時，即t∈（{0，\frac{1}{2}}]時$，$a＜72t+\frac{10}{t}-48$.$令g（t）=72t+\frac{10}{t}-48，t∈（{0，\frac{1}{2}}]$，$g（t）=72t+\frac{10}{t}-48≥24\sqrt{5}-48$，當且僅當$t=\frac{{\sqrt{5}}}{6}∈（0，\frac{1}{2}]$ 時等號成立，
所以，在0＜a＜24$\sqrt{5}$-48 時r＜PC 恒成立，亦即強水波不會波及游輪的航行．

點評 本題考查直線與圓的位置關系在生產(chǎn)生活中的實際應用，注意圓的性質、直線方程的合理運用是解題的關鍵，屬于中檔題．