Question

17．如圖所示，平面四邊形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．
（Ⅰ）若四點F、B、C、E共面，AB=a，求x的值；
（Ⅱ）求證：平面CBE⊥平面EDB；
（Ⅲ）當(dāng)x=2時，求二面角F-EB-C的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)四點F、B、C、E共面，以及三角形相似建立方程關(guān)系進(jìn)行求解；
（Ⅱ） 根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面BDE⊥平面BEC；
（Ⅲ）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可．

解答 證明：（Ⅰ）∵AF∥DE，AB∥CD，AF∩AB=A，DE∩DC=D，
∴平面ABF∥平面DCE，
∵平面ADEF⊥平面ABCD，
∴FB∥CE，∴△ABF～△DCE，
∵AB=a，∴ED=a，CD=2a，AF=$\frac{2a}{x}$，由相似比得$\frac{AF}{ED}=\frac{AB}{CD}$，即$\frac{\frac{2a}{x}}{a}=\frac{a}{2a}$，得x=4
（Ⅱ）連接BD，設(shè)AB=1，則AB=AD=1，CD=2，可得BD=$\sqrt{2}$，取CD的中點M，則MD與AB平行且相等，
則△BMD為等腰直角三角形，則BC=BD=$\sqrt{2}$，
∵BD²+BC²=CD²，
∴BC⊥BD．
∵平面四邊形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED⊥AD，
∴ED⊥平面ABCD，BC⊥DE，
又∵ED∩BD=D，
∴BC⊥平面BDE．
又∵BC?平面BCE，
∴平面BDE⊥平面BEC．
（ III）建立空間坐標(biāo)系如圖：設(shè)AB=1
∵x=2，∴CD=2，
則F（1，0，1），B（1，1，0），E（0，0，1），C（0，2，0），
$\overrightarrow{EF}$=（1，0，0），$\overrightarrow{EB}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{EC}$=（0，2，-1），
設(shè)平面EF的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{x+y-z=0}\end{array}\right.$，則取$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
設(shè)平面EBC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{m}=0}\\{\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{m}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x+y-z=0}\\{2y-z=0}\end{array}\right.$，令y=1，則z=2，x=1，即$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1+2}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=30°，
∵二面角F-EB-C是鈍二面角，
∴二面角F-EB-C的大小為150°．

點評 本題主要考查面面垂直判定以及二面角的求解，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．