Question

已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點．

(1)證明：PF⊥FD；
(2)判斷并說明PA上是否存在點G，使得EG∥平面PFD；
(3)若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A－PD－F的余弦值．

Answer 1

(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3).

試題分析：解法一（向量法）
（I）建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，分別求出直線PF與FD的平行向量，然后根據(jù)兩個向量的數(shù)量積為0，得到PF⊥FD；
（2）求出平面PFD的法向量（含參數(shù)t），及EG的方向向量，進而根據(jù)線面平行，則兩個垂直數(shù)量積為0，構(gòu)造方程求出t值，得到G點位置；
（3）由是平面PAD的法向量，根據(jù)PB與平面ABCD所成的角為45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．
解法二（幾何法）
（I）連接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由線面垂直性質(zhì)定理可得DF⊥PA，再由線面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由線面垂直的性質(zhì)定理得到PF⊥FD；
（2）過點E作EH∥FD交AD于點H，則EH∥平面PFD，且有AH＝AD，再過點H作HG∥DP交PA于點G，則HG∥平面PFD且AG＝AP，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，進而由面面平行的性質(zhì)得到EG∥平面PFD．從而確定G點位置；
（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中點M，則FM⊥AD，F(xiàn)M⊥平面PAD，在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案．.
試題解析：(1)證明：∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)－xyz，則
A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(xiàn)(1,1,0)，D(0,2,0)．
不妨令P(0,0，t)，∵＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)，
∴＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，
即PF⊥FD.
(2)解：設(shè)平面PFD的法向量為n=(x，y，z)，

由得
令z=1，解得：x=y=.
∴n=.
設(shè)G點坐標為(0,0，m)，E，則，
要使EG∥平面PFD，只需·n=0，即，得m=，從而滿足AG=AP的點G即為所求．
(3)解：∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，易得=(1,0,0)，又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量為n=.
∴.
故所求二面角A－PD－F的余弦值為.