如圖，在直角梯形ABCP中，,D是AP的中點(diǎn)，E,G分別為PC,CB的中點(diǎn)，將三角形PCD沿CD折起，使得PD垂直平面ABCD.（1）若F是PD的中點(diǎn)，求證：AP平面EFG;（2）當(dāng)二面角G-EF-D的大小為時(shí)，求FG與平面PBC所成角的余弦值.
（1）詳見解析，（2）

試題分析：（1）證明線面平行，關(guān)鍵找線線平行.因?yàn)楸绢}條件涉及中點(diǎn)較多，宜從中位線性質(zhì)出發(fā)尋找.如取AD中點(diǎn)M，則有又所以平面=平面.本題也可從證面面平行出發(fā)，推出線面平行.（2）已知二面角平面角，求線面角，宜利用空間向量解決.先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，,,,,設(shè),利用二面角G-EF-D的大小為求出，再利用空間向量數(shù)量積求線面角. 利用空間向量求角，關(guān)鍵是正確表示平面的法向量，明確向量夾角與二面角或線面角之間關(guān)系.
試題解析：(1)證明：是的中點(diǎn)時(shí),////,//,//平面,
//平面,,平面//平面,平面,
//平面.                       (6分)
(2)建立如圖所示的坐標(biāo)系,則有,,,,設(shè),

,,平面的法向量,則有
,解得. .
平面的法向量,依題意,
,
.于是.
平面的法向量,,
,則有
,解得. .
與平面所成角為,則有,
故有.                        (12分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如下圖，在三棱錐中，底面，點(diǎn)為以為直徑的圓上任意一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且交于點(diǎn).
（1）求證：面；
（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知四棱錐的底面的菱形，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，

（1）求證：；
（2）若的大�。�
（3）在（2）的條件下，求異面直線與所成角的余弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點(diǎn)．

(1)證明：PF⊥FD；
(2)判斷并說(shuō)明PA上是否存在點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD；
(3)若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A－PD－F的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：DA1⊥ED1；
（2）若直線DA1與平面CED1成角為45o，求的值；
（3）寫出點(diǎn)E到直線D1C距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的位置（結(jié)論不要求證明）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，是的中點(diǎn).
⑴求證：直線平面；
⑵⑵若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱柱中，底面.四邊形為梯形，,且.過(guò)三點(diǎn)的平面記為，與的交點(diǎn)為.
（1）證明：為的中點(diǎn)；
（2）求此四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積之比；
（3）若，，梯形的面積為6，求平面與底面所成二面角大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)是（ ）
A．（-2，3，-1）B．（-2，-3，-1）C．（2，-3，-1）D．（-2，3，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知向量a＝(m，n)，b＝(p，q)，定義a?b＝mn－pq.給出下列四個(gè)結(jié)論：①a?a＝0；②a?b＝b?a；③(a＋b)?a＝a?a＋b?a；④(a?b)2＋(a·b)2＝(m2＋q2)·(n2＋p2)．
其中正確的結(jié)論是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))

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