已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點A(1,-2).

(1)求拋物線C的方程,并求其準(zhǔn)線方程.

(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點)的直線l,使得直線l與拋物線C有公共點,且直線OA與l的距離等于?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

 

【答案】

(1) 拋物線C的方程為y2=4x 準(zhǔn)線方程為x=-1. (2) 存在,其方程為2x+y-1=0

【解析】

解:(1)將(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,

所以p=2.

故所求的拋物線C的方程為y2=4x,

其準(zhǔn)線方程為x=-1.

(2)假設(shè)存在符合題意的直線l,其方程為y=-2x+t.

由得y2+2y-2t=0.

因為直線l與拋物線C有公共點,

所以Δ=4+8t≥0,

解得t≥-.

另一方面,由直線OA與l的距離d=可得=,

解得t=±1.

因為-1∉,1∈,

所以符合題意的直線l存在,其方程為2x+y-1=0.

 

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已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為l,過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A,與C的一個交點為B,若=,則p=　　　　.

 

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