Question

（2008•溫州模擬）圓x²+y²+2x-4y+1=0關(guān)于直線(xiàn)2ax-by+2=0（a，b∈R）對(duì)稱(chēng)，則ab的取值范圍是

(-∞，

1

4

]

．

Answer 1

分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)和半徑，由已知圓關(guān)于直線(xiàn)2ax-by+2=0對(duì)稱(chēng)，得到圓心在直線(xiàn)上，故把圓心坐標(biāo)代入已知直線(xiàn)方程得到a與b的關(guān)系式，由a表示出b，設(shè)m=ab，將表示出的b代入ab中，得到m關(guān)于a的二次函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)求最大值的方法即可求出m的最大值，即為ab的最大值，即可寫(xiě)出ab的取值范圍．

解答：解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x+1）²+（y-2）²=4，
∴圓心坐標(biāo)為（-1，2），半徑r=2，
根據(jù)題意可知：圓心在已知直線(xiàn)2ax-by+2=0上，
把圓心坐標(biāo)代入直線(xiàn)方程得：-2a-2b+2=0，即b=1-a，
則設(shè)m=ab=a（1-a）=-a²+a，
∴當(dāng)a=

1

2

時(shí)，m有最大值，最大值為

1

4

，即ab的最大值為

1

4

，
則ab的取值范圍是（-∞，

1

4

]．
故答案為（-∞，

1

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題以直線(xiàn)與圓為載體，考查對(duì)稱(chēng)性，考查了直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)題意得到圓心在已知直線(xiàn)上是解本題的關(guān)鍵．