Question

在直角坐標(biāo)系xoy中，若角α、β的始邊都為x軸的非負(fù)半軸，點(diǎn)P(

1

2

，cos2θ)與點(diǎn)Q(sin2θ，-1)分別在α、β的終邊上．且

OP

•

OQ

=-

1

2

．
（1）求cos2θ的值；  （2） 求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，以及倍角公式和平方關(guān)系進(jìn)行求解；
（2）由（1）求出的三角函數(shù)值求出點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)，進(jìn)而由三角函數(shù)定義求出角α和β三角函數(shù)值，代入兩角和的正弦公式求解．

解答：解：（1）∵

OP

•

OQ

=-

1

2

，∴

1

2

sin2θ-cos2θ=-

1

2

，（2分）
即

1

2

(1-cos2θ)-cos2θ=-

1

2

，∴cos2θ=

2

3

，（4分）
∴cos2θ=2cos2θ-1=

1

3

．（6分）
（2）由（1）得cos2θ=

2

3

，則sin2θ=

1

3

，
∴點(diǎn)P(

1

2

，

2

3

)，點(diǎn)Q(

1

3

，-1)，（8分）
又點(diǎn)P(

1

2

，

2

3

)在角α的終邊上，∴sinα=

4

5

，cosα=

3

5

．
同理sinβ=-

3 10

10

，cosβ=

10

10

，（10分）
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

4

5

×

10

10

+

3

5

×(-

3 10

10

)=-

10

10

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是三角函數(shù)與向量結(jié)合的題目，主要利用向量的坐標(biāo)表示和三角恒等變換進(jìn)行求解，考查了靈活利用公式的能力．