Question

16．已知函數(shù)f（x）=cos（$\frac{π}{2}$-x）+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+x）（x∈R）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最大值，并指出此時x的值；
（2）若α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）且f（α）=1，求f（2α）的值．

Answer 1

分析 （1）利用誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式，化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得函數(shù)y=f（x）的最大值，并指出此時x的值．
（2）由條件求得α的值，結(jié)合函數(shù)的解析式從而求得f（2α）的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=cos（$\frac{π}{2}$-x）+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
故當(dāng)x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為2，此時，x=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
（2）若α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）且f（α）=2sin（α+$\frac{π}{3}$）=1，即 sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，∴α=-$\frac{π}{6}$，
∴f（2α）=2sin（-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=0．

點(diǎn)評 本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的最值，求三角函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題．