Question

11．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值，并判斷函數(shù)f（x）在定義域中的單調(diào)性（不用證明）；
（2）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（0）=0，求出b的值，根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出a的值即可；
（2）問題等價(jià)于f（t²-2t）＜f（k-2t²），得到t²-2t＞k-2t²，問題轉(zhuǎn)化為$k＜3{t^2}-2t=3{（{t-\frac{1}{3}}）^2}-\frac{1}{3}$對(duì)t∈R恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴$f（0）=\frac{b-1}{a+1}=0$，∴b=1…（1分）
∴$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{a+{2^x}}}，f（-x）=\frac{{{2^x}-1}}{{a{2^x}+1}}，f（x）=-f（-x）$，
∴a•2^x+1=a+2^x，…（3分）
即a（2^x-1）=2^x-1對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立．
∴a=1，∴a=b=1．                                       …（5分）
f（x）是R上的減函數(shù)．                                     …（6分）
（2）不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，
等價(jià)于f（t²-2t）＜f（k-2t²），
又f（x）是R上的減函數(shù)，
∴t²-2t＞k-2t²，…（8分）
∴$k＜3{t^2}-2t=3{（{t-\frac{1}{3}}）^2}-\frac{1}{3}$對(duì)t∈R恒成立，…（10分）
∴$k＜-\frac{1}{3}$，
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是$（{-∞\;，\;\;-\frac{1}{3}}）$．                …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)的奇偶性，是一道中檔題．