Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時.

①求函數(shù)在處的切線方程；

②定義其中，求；

（2）當時，設，(為自然對數(shù)的底數(shù))，若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①；②8079；（2）.

【解析】

（1）①時，，，利用導數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)在處的切線方程．

②由，得，由此能求出的值．

（2）根據(jù)若對任意給定的，，在區(qū)間，上總存在兩個不同的，使得成立，得到函數(shù)在區(qū)間，上不單調(diào)，從而求得的取值范圍．

（1）①∵，

∴

∴，∴，∵，

所以切線方程為.

②，

.

令，則,.

因為①,

所以②,

由①+②得,所以.

所以.

（2），當時，函數(shù)單調(diào)遞增；

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減∵，，

所以，函數(shù)在上的值域為.

因為， ，

故，，①

此時，當 變化時、的變化情況如下：

	—	0	+
	單調(diào)減	最小值	單調(diào)增

∵，

，

∴對任意給定的，在區(qū)間上總存在兩個不同的，

使得成立，當且僅當滿足下列條件

，即

令，，

，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減所以，對任意，有，即②對任意恒成立.

由③式解得：④

綜合①④可知，當時，對任意給定的，

在上總存在兩個不同的，使成立.