Question

已知曲線C的參數(shù)方程是

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），以直角坐標系xoy的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρ（cosθ+sinθ）=4，則求曲線C上任意點M到直線l的距離的最大值為

 

．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：選作題,坐標系和參數(shù)方程

分析：設曲線C上任意點M的坐標為（cosφ，sinφ）（0≤φ＜2π），由直線l的極坐標方程為ρ（cosθ+sinθ）=4，可得直線l的普通方程為x+y-4=0，利用點到直線的距離公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：設曲線C上任意點M的坐標為（cosφ，sinφ）（0≤φ＜2π），
由直線l的極坐標方程為ρ（cosθ+sinθ）=4，可得直線l的普通方程為x+y-4=0，
點M到l的距離為d=

|cosφ+sinφ|

2

=

| 2 sin(φ+ π 4 )-4|

2

．
∵0≤φ＜2π，∴

π

4

≤φ+

π

4

＜

9π

4

，
∴-

2

-4≤

2

sin（φ+

π

4

）-4≤

2

-4，
當φ+

π

4

=

3π

2

，即φ=

5π

4

時，曲線C上任意點M到直線l的距離的最大值為2

2

+1．
故答案為：2

2

+1．

點評：本題考查了極坐標化為直角坐標、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、直線與圓的方程，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．