Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)的最小值為2，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：．

Answer 1

【答案】（1）．（2）見解析

【解析】

（1）由題可知，的定義城為，且，分類討論參數(shù)，當(dāng)和當(dāng)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，得出當(dāng)時(shí)，，取得最小值，結(jié)合已知的最小值為2，即可求出的值；

（2）當(dāng)，結(jié)合第（1）可知，將證明轉(zhuǎn)化為只要證，構(gòu)造新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出當(dāng)時(shí)，，即，即可證明出．

解：（1）的定義城為，

且，

函數(shù)的最小值為2，

若，則，于是在上單調(diào)遞增，

故無最小值，不合題意，

若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

于是當(dāng)時(shí)，，取得最小值，

由已知得，解得．

綜上可知．

（2）∵由（1）得，當(dāng)時(shí)，取得最小值，

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，

則，即：，

由題知，當(dāng)時(shí)，證明：，

∴要證，只要證，

∴令，則，

∴當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增．

∴當(dāng)時(shí)，，即，

∴當(dāng)時(shí)，不等式成立．