【題目】已知函數(shù)

1)若函數(shù)的最小值為2,求的值;

2)當(dāng)時(shí),證明:

【答案】1.(2)見解析

【解析】

1)由題可知,的定義城為,且,分類討論參數(shù),當(dāng)和當(dāng),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,得出當(dāng)時(shí),取得最小值,結(jié)合已知的最小值為2,即可求出的值;

2)當(dāng),結(jié)合第(1)可知,將證明轉(zhuǎn)化為只要證,構(gòu)造新函數(shù),通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而得出當(dāng)時(shí),,即,即可證明出

解:(1的定義城為,

函數(shù)的最小值為2,

,則,于是上單調(diào)遞增,

無最小值,不合題意,

,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,

上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

于是當(dāng)時(shí),,取得最小值

由已知得,解得

綜上可知

2)∵由(1)得,當(dāng)時(shí),取得最小值

所以當(dāng)時(shí),取得最小值,即,

,即:,

由題知,當(dāng)時(shí),證明:

∴要證,只要證,

∴令,則,

∴當(dāng)時(shí),,

所以上單調(diào)遞增.

∴當(dāng)時(shí),,即,

∴當(dāng)時(shí),不等式成立.

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