如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°．

(1)證明：C1C⊥BD；

(2)假定CD＝2，CC1＝，記面C1BD為α，面CBD為β，求二面角α－BD－β的平面角的余弦值；

(3)當(dāng)的值為多少時，可使A1C⊥面C1BD？

答案：
解析：

　　(1)證明：連結(jié)A1C1、AC，AC和BD交于點O，連結(jié)C1O，

　　∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD

　　又∵∠BCC1＝∠DCC1，C1C是公共邊，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B＝C1D

　　∵DO＝OB，∴C1O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C1O＝O

　　∴BD⊥平面AC1，又C1C平面AC1，∴C1C⊥BD．

　　(2)解：由(1)知AC⊥BD，C1O⊥BD，

　　∴∠C1OC是二面角α－BD－β的平面角．

　　在△C1BC中，BC＝2，C1C＝，∠BCC1＝60°，

　　∴C1B2＝22＋()2－2×2××cos60°＝．

　　∵∠OCB＝30°，∴OB＝，BC＝1，C1O＝，即C1O＝C1C．

　　作C1H⊥OC，垂足為H，則H是OC中點且OH＝，∴cosC1OC＝

　　(3)解：由(1)知BD⊥平面AC1，∵A1O平面AC1，∴BD⊥A1C，當(dāng)＝1時，平行六面體的六個面是全等的菱形，同理可證BC1⊥A1C，又∵BD∩BC1＝B，∴A1C⊥平面C1BD．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體OABC-O1A1B1C1，點G是上底面O1A1B1C1的中心，且
OA
=
a
，
OC
=
b
，
OO1
=
c
，則用
a
，
b
，
c
表示向量
OG
為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABC-A1B1C1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時，EF⊥AD？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時，EF⊥AD？
（3）若∠A1AB=60°，求二面角C-AA1-B的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1（底面是平行四邊形的四棱柱）
①求證：平面AB1D1∥平面BDC1；
②若平行六面體ABCD-A1B1C1D1各棱長相等且AB⊥平面BCC1B1，E為CD的中點，AC1∩BD1=0，求證：OE⊥平面ABC1D1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O．
（1）求證：面O1DC⊥面ABCD；
（2）若∠A1AB=60°，求二面角C-AA1-B大小；
（3）若點E，F(xiàn)分別在棱AA1，BC上，且AE=2EA1，問點F在何處時，EF⊥AD．

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