Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，點(diǎn)P（1，f（1））在函數(shù)y=f（x）的圖象上，過(guò)P點(diǎn)的切線方程為y=3x+1．
（1）若y=f（x）在x=-2時(shí)有極值，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式f（x）≥m在區(qū)間[-2，1]上恒成立，若存在，試求出m的最大值，若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用y=f（x）在x=-2時(shí)有極值，可得f′（-2）=0的根，利用切線方程為y=3x+1及點(diǎn)P既在函數(shù)y=f（x）的圖象上，又在切線y=3x+1上，可建立方程，即可求得f（x）的解析式；
（2）確定函數(shù)的極值與函數(shù)在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)值，比較極值與端點(diǎn)的函數(shù)值，求得函數(shù)在區(qū)間[-2，1]上的最小值，即可求得m的最大值．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=3x²+2ax+b
∵y=f（x）在x=-2時(shí)有極值，∴x=-2是方程f′（x）=3x²+2ax+b=0的根，∴14-4a+b=0①
又切線的斜率，即f′（x）在x=1時(shí)的值，∴3+2a+b=3②
∵點(diǎn)P既在函數(shù)y=f（x）的圖象上，又在切線y=3x+1上，∴f（1）=4=1+a+b+c③，
①②③解得a=2，b=-4，c=5，
故f（x）=x³+2x²-4x+5
（2）在（1）的條件下，f（x）=x³+2x²-4x+5
由f′（x）=3x²+4x-4=0得函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)是x=-2，x=

2

3

．
函數(shù)的兩個(gè)極值為f(-2)=13，f(

2

3

)=

95

27

函數(shù)在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)值分別為f（-2）=13，f（1）=4．
比較極值與端點(diǎn)的函數(shù)值，知在區(qū)間[-2，1]上，函數(shù)f（x）的最小值為

95

27

．
不等式f（x）≥m在區(qū)間[-2，1]上恒成立，只需m≤

95

27

，不等式f（x）≥m恒成立．
此時(shí)m的最大值為

95

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查極值、切線的斜率，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的最值，從而解決恒成立問(wèn)題．